Mục tiêu bài học

  • Thuật ngữ:
    • Vectơ trong không gian
  • Kiến thức, kĩ năng:
    • Nhận biết vectơ trong không gian.
    • Nhận biết và thực hiện các phép toán vectơ trong không gian.

Vectơ trong không gian

Định nghĩa và khái niệm cơ bản

  • Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.
  • Định nghĩa độ dài: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
  • Giá của vectơ: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
  • Hai vectơ cùng phương: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
  • Hướng của hai vectơ cùng phương: Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
  • Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} được gọi là bằng nhau, kí hiệu a⃗=b⃗\vec{a} = \vec{b}, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
  • Vectơ-không: Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA→,BB→,...\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB},... gọi là các vectơ-không.

Chú ý và quy ước

  • Kí hiệu điểm: Vectơ có điểm đầu là AA và điểm cuối là BB được kí hiệu là AB→\overrightarrow{AB}.
  • Kí hiệu chung: Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a⃗,b⃗,x⃗,y⃗,...\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y},...
  • Kí hiệu độ dài: Độ dài của vectơ AB→\overrightarrow{AB} được kí hiệu là ∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|, độ dài của vectơ a⃗\vec{a} được kí hiệu là ∣a⃗∣|\vec{a}|.
  • Tính chất xác định điểm: Trong không gian, với mỗi điểm OO và vectơ a⃗\vec{a} cho trước, có duy nhất điểm MM sao cho OM→=a⃗\overrightarrow{OM} = \vec{a}.
  • Quy ước về vectơ-không: Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 00, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0⃗\vec{0}.

Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

  • Định nghĩa tổng: Trong không gian, cho hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}. Lấy một điểm AA bất kì và các điểm B,CB, C sao cho AB→=a⃗,BC→=b⃗\overrightarrow{AB} = \vec{a}, \overrightarrow{BC} = \vec{b}. Khi đó, vectơ AC→\overrightarrow{AC} được gọi là tổng của hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}, kí hiệu là a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}.
  • Định nghĩa phép cộng: Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
  • Quy tắc ba điểm: Nếu A,B,CA, B, C là ba điểm bất kì thì AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}.
  • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCDABCD là hình bình hành thì AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}.
  • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, ta có AB→+AD→+AA′→=AC′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}.

Tính chất của phép cộng vectơ

  • Tính chất giao hoán: Nếu a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} là hai vectơ bất kì thì a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}.
  • Tính chất kết hợp: Nếu a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} và c⃗\vec{c} là ba vectơ bất kì thì (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}).
  • Tính chất cộng với vectơ 0⃗\vec{0}: Nếu a⃗\vec{a} là một vectơ bất kì thì a⃗+0⃗=0⃗+a⃗=a⃗\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}.
  • Tổng nhiều vectơ: Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết tổng của ba vectơ a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} và c⃗\vec{c} là a⃗+b⃗+c⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối với tổng của nhiều vectơ trong không gian.

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian

  • Định nghĩa vectơ đối: Trong không gian, vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a⃗\vec{a} được gọi là vectơ đối của vectơ a⃗\vec{a}, kí hiệu là −a⃗-\vec{a}.
  • Tính chất vectơ đối: Hai vectơ là đối nhau nếu và chỉ nếu tổng của chúng bằng 0⃗\vec{0}.
  • Chú ý về vectơ đối:
    • Vectơ BA→\overrightarrow{BA} là một vectơ đối của vectơ AB→\overrightarrow{AB}.
    • Vectơ 0⃗\vec{0} được coi là vectơ đối của chính nó.
  • Định nghĩa hiệu: Vectơ a⃗+(−b⃗)\vec{a} + (-\vec{b}) được gọi là hiệu của hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} và kí hiệu là a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}.
  • Định nghĩa phép trừ: Trong không gian, phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
  • Quy tắc hiệu: Với ba điểm O,A,BO, A, B bất kì trong không gian, ta có OB→−OA→=AB→\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}.

Tích của một số với một vectơ trong không gian

Định nghĩa

  • Định nghĩa: Trong không gian, tích của một số thực k≠0k \ne 0 với một vectơ a⃗≠0⃗\vec{a} \ne \vec{0} là một vectơ, kí hiệu là ka⃗k\vec{a}, được xác định như sau:
    • Cùng hướng với vectơ a⃗\vec{a} nếu k>0k > 0; ngược hướng với vectơ a⃗\vec{a} nếu k<0k < 0;
    • Có độ dài bằng ∣k∣⋅∣a⃗∣|k| \cdot |\vec{a}|.
  • Định nghĩa phép nhân: Trong không gian, phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với một vectơ.

Chú ý và điều kiện cùng phương

  • Quy ước: 0a⃗=0⃗0\vec{a} = \vec{0} và k0⃗=0⃗k\vec{0} = \vec{0}.
  • Điều kiện bằng vectơ 0⃗\vec{0}: Nếu ka⃗=0⃗k\vec{a} = \vec{0} thì k=0k = 0 hoặc a⃗=0⃗\vec{a} = \vec{0}.
  • Điều kiện cùng phương: Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} (b⃗≠0⃗\vec{b} \ne \vec{0}) cùng phương là có một số thực kk sao cho a⃗=kb⃗\vec{a} = k\vec{b}.

Tính chất của phép nhân một số với một vectơ

  • Tính chất kết hợp: Nếu h,kh, k là hai số thực và a⃗\vec{a} là một vectơ bất kì thì h(ka⃗)=(hk)a⃗h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}.
  • Tính chất phân phối đối với phép cộng số: Nếu h,kh, k là hai số thực và a⃗\vec{a} là một vectơ bất kì thì (h+k)a⃗=ha⃗+ka⃗(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}.
  • Tính chất phân phối đối với phép cộng vectơ: Nếu kk là một số thực và a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} là hai vectơ bất kì thì k(a⃗+b⃗)=ka⃗+kb⃗k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}.
  • Tính chất nhân với 1 và -1: Nếu a⃗\vec{a} là một vectơ bất kì thì 1a⃗=a⃗1\vec{a} = \vec{a} và (−1)a⃗=−a⃗(-1)\vec{a} = -\vec{a}.

Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

a) Góc giữa hai vectơ trong không gian

  • Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} khác 0⃗\vec{0}. Lấy một điểm OO bất kì và gọi A,BA, B là hai điểm sao cho OA→=a⃗,OB→=b⃗\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}. Khi đó, góc AOB^\widehat{AOB} (0∘≤AOB^≤180∘0^\circ \le \widehat{AOB} \le 180^\circ) được gọi là góc giữa hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b}, kí hiệu là (a⃗,b⃗)(\vec{a}, \vec{b}).
  • Hai vectơ vuông góc: Nếu góc giữa hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} là 90∘90^\circ thì ta nói hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} vuông góc với nhau và kí hiệu là a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}.
  • Cách xác định góc: Để xác định góc giữa hai vectơ AB→\overrightarrow{AB} và CD→\overrightarrow{CD} trong không gian ta có thể lấy điểm EE sao cho AE→=CD→\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}, khi đó (AB→,CD→)=BAE^(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \widehat{BAE}.
  • Quy ước về góc: Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và 0⃗\vec{0} có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ 0∘0^\circ đến 180∘180^\circ.

b) Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

  • Định nghĩa và công thức: Trong không gian, cho hai vectơ a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} đều khác 0⃗\vec{0}. Tích vô hướng của hai vectơ a⃗\vec{a} và b⃗\vec{b} là một số, kí hiệu là a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}, được xác định bởi công thức: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡(a⃗,b⃗)\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})
  • Quy ước: Quy ước nếu a⃗=0⃗\vec{a} = \vec{0} hoặc b⃗=0⃗\vec{b} = \vec{0} thì a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0.
  • Điều kiện vuông góc: Cho hai vectơ a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} đều khác 0⃗\vec{0}. Khi đó: a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
  • Bình phương vô hướng: Với mọi vectơ a⃗\vec{a}, ta có: a⃗2=∣a⃗∣2\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2
  • Công thức cosin góc giữa hai vectơ: Nếu a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b} là hai vectơ khác 0⃗\vec{0} thì: cos⁡(a⃗,b⃗)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

Tính chất của tích vô hướng

  • Tính chất giao hoán: a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
  • Tính chất kết hợp với một số: (ka⃗)⋅b⃗=k(a⃗⋅b⃗)=a⃗⋅(kb⃗)(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k\vec{b})
  • Tính chất phân phối: a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

Ứng dụng trong Vật lí

  • Công cơ học: Nếu có một lực F⃗\vec{F} tác động vào một vật tại điểm MM và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MNMN thì công AA sinh ra được tính theo công thức: A=F⃗⋅MN→A = \vec{F} \cdot \overrightarrow{MN} (trong đó lực F⃗\vec{F} có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MNMN tính bằng mét và công AA tính bằng Jun).

Mở rộng: Trọng tâm tam giác và Trọng tâm tứ diện

  • Tính chất trọng tâm tam giác: Tương tự như trong mặt phẳng, nếu GG là trọng tâm của tam giác ABCABC thì với điểm OO tuỳ ý, ta có: OA→+OB→+OC→=3OG→\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}
  • Trọng tâm tứ diện: Điểm II trong Luyện tập 8 được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCDABCD khi thỏa mãn: IA→+IB→+IC→+ID→=0⃗\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC} + \overrightarrow{ID} = \vec{0} (tương đương với AI→=3IG→\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}, trong đó GG là trọng tâm của tam giác BCDBCD).